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Was bedeutet eigentlich Mittelwert/Standardabweichung?

Heute mal ein kleiner Artikel, der vor allem für diejenigen interessant sein könnte, deren Schulmathematik bereits ein wenig eingerostet ist und die sich daher schon seit langem fragen, was eigentlich damit gemeint ist, wenn davon gesprochen wird, dass man einen Mittelwert von x als Differenz zum Originalbild mit einer Standardabweichung von y hat.
Daher möchte ich heute kurz und in möglichst einfachen Worten erklären, worum es sich beim Mittelwert und der (Standard-) Abweichung überhaupt handelt.

Ich fange hier einmal mit einer kleinen Einführung in die Stochastik an, denn der Mittelwert und die Standardabweichung kommen aus dem Bereich der Statistik („die Lehre von Methoden zum Umgang mit quantitativen Informationen“ – Wikipedia) und dienen der Auswertung einer Vielzahl an Informationen.
Der Mittelwert oder auch das arithmetische Mittel stellt hierbei die exakte Mitte aus der Menge vorhandener Zahlen dar. Wichtig hierbei ist, dass es sich nicht um die mittlere Zahl handelt, sondern um eine perfekte mathematische Mitte (das unterscheidet den Mittelwert vom sog. Median).

Berechnet wird der Mittelwert über folgende Formel (keine Sorge, ich erkläre gleich direkt im Detail, was hier passiert):
Mittelwert
Das bedeutet, dass zuerst sämtliche Werte aufeinander aufaddiert und gezählt werden, anschließend teilt man die Summe durch die Anzahl an Werten und erhält damit die Mitte aus diesen Werten.
Was uns der Mittelwert also aussagt ist, welchen Wert unsere Tonwerte durchschnittlich annehmen.
Was ist aber mit den Werten, die nicht dem Durchschnittswert entsprechen?
Hierzu müssen wir zuerst einmal die sogenannte Varianz der Daten herausfinden. Die Varianz ist „der Mittelwert der quadrierten Abweichung vom Mittelwert“ (Mathematik, T. Arens, F. Hettlich, Ch. Karpfinger, U. Kockelkorn, K. Lichtenegger, H.Stachel, S. 1237).
Das heißt im Klartext, wir ermitteln den Durchschnitt aus dem Quadrat der Abweichung des Mittelwertes. Wichtig ist hierbei, dass wir das Quadrat der Abweichung benutzen, damit wir auch mit negativer Abweichung rechnen können.

In Formeln ausgedrückt sieht das dann so aus: Varianz

Nun haben wir natürlich eine sehr große Zahl, da wir jeweils mit der quadrierten Abweichung gerechnet haben, wir vereinfachen das also, indem wir die Wurzel aus dieser Gleichung ziehen und erhalten damit die Standardabweichung, in Photoshop nur „Abweichung“ genannt.

Das erreichen wir schnell über folgende Formel: Abweichung

Nun haben wir einen Wert, der die durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert angibt.

Ein Beispiel?
Nehmen wir uns folgende vier Zahlen, von denen wir nun Mittelwert und Standardabweichung berechnen wollen.

12
15
6
59

Mittelwert: Mittelwert
Varianz: Varianz
Standardabweichung: Standardabweichung

Also was bringen uns diese Werte jetzt genau?
Mit dem Mittelwert erfahren wir, wie hell/dunkel unser Bild im Durchschnitt ist, die Standardabweichung gibt uns an, wie hoch die Tonwertverteilung in etwa ist.
Je höher die Standardabweichung ist, desto höher ist auch der Kontrast unseres Bildes.
Für normale Bildbetrachtung sehe ich persönlich sonst aber keinen großen Nutzen in diesen beiden Werten.
Ich nutze es daher eher, wenn ich messen will, wie groß die Abweichung eines Bildes zum Original ist (z.B. um zu testen, wie genau meine aktuelle Technik zur Farbseparation ist). Wenn der Mittelwert gering ist, weiß ich, dass die Technik gute Ergebnisse bringt. Ist allerdings die Standardabweichung hoch, kann man davon ausgehen, dass es bestimmte Tonwertbereiche gibt, in denen die Technik noch nicht ausgereift ist.
Wenn wir dagegen einen hohen Mittelwert direkt zu Beginn haben, heißt das, dass unsere Technik noch nicht wirklich ausgereift ist, egal, was die Standardabweichung sagt (denn die bestimmt ja nur die durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert, daher ist der aussagekräftiger was die Bewertung angeht).

So, ich hoffe, ich konnte euch ein wenig Klarheit in dem Bereich verschaffen :-).
Wenn ihr noch Fragen habt oder ich irgendetwas noch einmal anders erklären soll (oder vielleicht habt ihr auch eigene Ansätze, die leichter verständlich sind), schreibt am besten in die Kommentare!

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Kategorien:Mathematik
  1. 27. Januar 2012 um 19:04

    Hallo Jonas,
    Du köntest noch erzahlen dass beide Werte sichtbar werden im Histogramm in Erweiterte Modus (Expanded view/Statistieken zeigen). Dort kann man auch sehen was es bedeutet als der Mittelwert nicht genau 128 ist.
    Vielen Dank für deine Arbeit.
    Harm Udding

    • 28. Januar 2012 um 10:51

      Hallo Harm,

      du hast natürlich recht, vielen Dank für die Ergänzung :-)!
      Ich bin es so gewöhnt, dass das Histogramm bei mir im erweiterten Modus angezeigt wird, dass ich gar nicht mehr daran gedacht hatte, das extra zu erwähnen.

      LG,
      Jonas

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